بهینه سازی لوله انتقال آب فشار قوی سد بتنی شهریار با استفاده از الگوریتم اجتماع مورچه¬ها

نوع مقاله: مقاله پژوهشی

نویسندگان

چکیده

امروزه نیروگاه­های برق آبی از مهم­ترین منابع تولید انرژی برق بشمار می­روند. در میان اجزای تشکیل دهنده تاسیسات برق آبی، پنستاک از جایگاه ویژه­ای برخوردار است. پنستاک لوله­ای است فشار قوی که جریان آب را از مخزن سد یا از هر بار آبی بالا به سمت توربین­های نیروگاه هدایت می­کند. اهمیت پنستاک بدلیل هزینه­ی بالای ساخت، نصب و نگهداری آن می­باشد به طوری که درصد قابل توجهی از هزینه­های ساخت نیروگاه به این سازه هیدرولیکی اختصاص می­یابد. لذا طراحی بهینه آن می­تواند نقش بسزایی در کاهش هزینه احداث نیروگاه­های برق آبی داشته باشد. در سال­های اخیر استفاده از روش­های بهینه­سازی کاوشی برای طراحی بهینه سازه­های مختلف مهم­ترین موضوع تحقیق بوده است. از بین الگوریتم­های کاوشی، روش بهینه­سازی اجتماع مورچه­ها به عنوان یک ابزار قوی و مناسب در بسیاری از زمینه­ها مورد توجه بوده است. در این تحقیق ابعاد لوله­های پنستاک با استفاده از روش اجتماع مورچه­ها بهینه­یابی شده است. بدین منظور الگوریتم سیستم مورچگان (ACS) اجتماع مورچه­ها انتخاب شده و پنستاک سد شهریار واقع در میانه به عنوان مطالعه موردی مورد بررسی قرار گرفته است. نتایج بدست آمده حاکی از آن است که الگوریتم ACS از قابلیت بالایی در بهینه­سازی برخوردار بوده و توانسته است وزن پنستاک را به میزان قابل قبولی کاهش دهد. 

کلیدواژه‌ها


عنوان مقاله [English]

Application of Ant Colony Algorithm to Optimize the High Pressure Water Conveyance Pipe of Shahryar Concrete Dam

نویسندگان [English]

  • Mohammad ali Lotfollahi Yaghin
  • Nazila Kardan
چکیده [English]

Today the hydro–electric power plants are important sources of energy production. Among the elements of the hydro-electric power plants, penstock is a high pressure pipe and high important that conveys water from dam reservoir or any high head water to power plant turbines. The important of penstock is due to its expensive design and maintenance; so a considerable percent of the construction cost of power plants is allocated to penstocks structure. So optimization of penstock has a great effect on a hydro-electric project cost reduction. Using Heuristic methods to optimum design of different structures has been an important object being studied in recent years. Among Heuristic algorithms, Ant Colony Optimization method is a powerful optimization tool which has been considered by researchers in many fields. In this study, the dimensions of penstock were optimized using Ant Colony method. For this purpose on the basis of the selected Ant Colony Algorithm, Shahryar dam (in Miyaneh) was investigated. The results indicated that ACS algorithm has high capability in optimization and can considerably reduce the weight of penstock.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Ant Colony algorithm
  • Hydro-electric power plants
  • optimization
  • Penstock

بهینه سازی لوله انتقال آب فشار قوی سد بتنی شهریار با استفاده از الگوریتم اجتماع مورچه­ها

محمدعلی لطف اللهی یقین*1 و نازیلا کاردان2

تاریخ دریافت:18/10/89     تاریخ پذیرش:12/09/90

1- دانشیار گروه عمران آب، دانشکده عمران، دانشگاه تبریز

2- دانشجوی دکتری سازه هیدرولیکی، دانشکده عمران، دانشگاه تبریز

مسئول مکاتبه: E-mail: a_lotfollahi@yahoo.com

 

  چکیده

امروزه نیروگاه­های برق آبی از مهم­ترین منابع تولید انرژی برق بشمار می­روند. در میان اجزای تشکیل دهنده تاسیسات برق آبی، پنستاک از جایگاه ویژه­ای برخوردار است. پنستاک لوله­ای است فشار قوی که جریان آب را از مخزن سد یا از هر بار آبی بالا به سمت توربین­های نیروگاه هدایت می­کند. اهمیت پنستاک بدلیل هزینه­ی بالای ساخت، نصب و نگهداری آن می­باشد به طوری که درصد قابل توجهی از هزینه­های ساخت نیروگاه به این سازه هیدرولیکی اختصاص می­یابد. لذا طراحی بهینه آن می­تواند نقش بسزایی در کاهش هزینه احداث نیروگاه­های برق آبی داشته باشد. در سال­های اخیر استفاده از روش­های بهینه­سازی کاوشی برای طراحی بهینه سازه­های مختلف مهم­ترین موضوع تحقیق بوده است. از بین الگوریتم­های کاوشی، روش بهینه­سازی اجتماع مورچه­ها به عنوان یک ابزار قوی و مناسب در بسیاری از زمینه­ها مورد توجه بوده است. در این تحقیق ابعاد لوله­های پنستاک با استفاده از روش اجتماع مورچه­ها بهینه­یابی شده است. بدین منظور الگوریتم سیستم مورچگان (ACS) اجتماع مورچه­ها انتخاب شده و پنستاک سد شهریار واقع در میانه به عنوان مطالعه موردی مورد بررسی قرار گرفته است. نتایج بدست آمده حاکی از آن است که الگوریتم ACS از قابلیت بالایی در بهینه­سازی برخوردار بوده و توانسته است وزن پنستاک را به میزان قابل قبولی کاهش دهد.

 

واژه­های کلیدی: الگوریتم جامعه مورچه­ها، بهینه­سازی، پنستاک، نیروگاه برق­آبی.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Application of Ant Colony Algorithm to Optimize the High Pressure Water Conveyance Pipe of Shahryar Concrete Dam

MA Lotfollahi Yaghin and N Kardan

Received:8 January 2011  Accepted: 3 December 2011

1-Assoc. Prof. Dept. of Water Engin., Faculty of Civil Engin., Univ. of Tabriz. Iran.

2-PhD Student of Hydraulic Structure, Faculty of Civil Engin., Univ. of Tabriz. Iran.

*Corresponding Author Email: a_lotfollahi@yahoo.com

 

Abstract

Today the hydro–electric power plants are important sources of energy production. Among the elements of the hydro-electric power plants, penstock is a high pressure pipe and high important that conveys water from dam reservoir or any high head water to power plant turbines. The important of penstock is due to its expensive design and maintenance; so a considerable percent of the construction cost of power plants is allocated to penstocks structure. So optimization of penstock has a great effect on a hydro-electric project cost reduction. Using Heuristic methods to optimum design of different structures has been an important object being studied in recent years. Among Heuristic algorithms, Ant Colony Optimization method is a powerful optimization tool which has been considered by researchers in many fields. In this study, the dimensions of penstock were optimized using Ant Colony method. For this purpose on the basis of the selected Ant Colony Algorithm, Shahryar dam (in Miyaneh) was investigated. The results indicated that ACS algorithm has high capability in optimization and can considerably reduce the weight of penstock.

 

Keywords: Ant Colony algorithm, Hydro-electric power plants, Optimization, Penstock.

 

مقدمه

 

     هر نیروگاه برق آبی از قسمت­های مختلفی مانند سد (بتنی یا خاکی)، سازه آبگیر، لوله­های فشارقوی انتقال آب پنستاک، مخازن موج گیر، توربین و تجهیزات تولید برق تشکیل یافته است که در این میان پنستاک از جایگاه  ویژه­ای برخوردار است. پنستاک لوله­ای است فشار قوی که جریان آب را از مخزن سد و یا از هر بار آبی بالا به توربین­های نیروگاه هدایت می­کند. اهمیت پنستاک به علت هزینه­ی­ بالای ساخت، نصب و نگهداری آن می­باشد طوری که حدود30% هزینه­ ساخت نیروگاه­های برق آبی به پنستاک اختصاص می­یابد که طراحی بهینه آن می­تواند هزینه ساخت را بطور چشمگیری کاهش دهد(­سارکاریا 1979).

اصول و روش طراحی پنستاک­های فولادی و بتنی نخستین بار توسط سورن و هادجیان (1980) ارائه گردید که در این روش پس از طراحی اولیه مقادیر بدست آمده از طریق سعی وخطا بهینه شدند. در این پژوهش تابع هزینه پنستاک به عنوان تابع هدف انتخاب شده و پس از تعیین واحد هزینه برای پارامتر­های مختلف مانند خاکبرداری و خاکریزی بازای واحد طول پنستاک، هزینه ساخت و اجرای آن بهینه گردید. همچنین اداره عمران اراضی آمریکا (بی نام 1986) طی تحقیقی به ارائه اصول طراحی پنستاک­های فولادی پرداخته است. اندرودی (2006) با استفاده از برنامه POPEHYE[1] به بهینه­سازی اجزای نیروگاه­های برق­آبی از جمله پنستاک پرداخته و نتایج حاصله را به صورت نمودار­هایی ارائه کرد. در پژوهشی دیگر فرزن و واتش (1983) به بهینه­سازی پنستاک پرداختند. در این تحقیق هدف ماکزیمم نمودن انرژی تولیدی نیروگاه بوده که دبی ورودی به نیروگاه به عنوان مهم­ترین متغییر در افزایش انرژی تولیدی تعریف شده است. لذا با افزایش دبی، ابعاد پنستاک نیز افزایش یافته و طرح پنستاک غیر اقتصادی می­گردد. کاردان و کماسی (1389) با استفاده از الگوریتم ژنتیک به بهینه­سازی ابعاد لوله­های فشار قوی نیروگاه برق­آبی سد شهریار پرداختند.

با گسترش الگوریتم­های فراکاوشی، الگوریتم اجتماع مورچه­ها به عنوان یکی از پرکاربردترین روش­های هوش مصنوعی در زمینه‌های مختلفی از جمله         بهینه سازی مورد استفاده قرار گرفته است. مایر و همکاران (2003)  با استفاده از الگوریتم­های مختلف ACO به بهینه سازی سیستم­های توزیع آب پرداختند. در این تحقیق جهت بررسی نتایج حاصله، یک شبکه توزیع آب با 14 لوله و نیز شبکه توزیع آب شهر نیویورک مورد مطالعه قرار گرفته­اند. مایر و همکاران نتایج دو الگوریتم اجتماع مورچه­ها و ژنتیک را مقایسه نموده و ثابت نمودند الگوریتم ACO در مسائل پیچیده از عملکرد بهتری نسبت به الگوریتم ژنتیک (GA[2]) برخوردار می­باشد. عباسپور و همکاران (2001) از روش اجتماع مورچه­ها برای بدست آوردن پارامترهای بهینه خاک­های اشباع استفاده نمودند. در این مطالعه جهت تحقیق درستی نتایج حاصله از الگوریتم ACO، دو مطالعه موردی انتخاب شده است. مطالعه موردی اول به بررسی جریان یک بعدی آب در یک خاک دولایه در حوضه هاسپلس بیک[3] در هلند پرداخته و مطالعه موردی دوم بررسی جریان در خاک حوضه بزرگی بوده که با گیاهان جنگلی پوشیده شده است. انتخاب مطالعه موردی دوم به دلیل بررسی تاثیر وجود  و نیتروژن در خاک بوده است. همچنین در این مطالعه موردی، الگوریتم LM نیز جهت تعیین پارامترهای هیدرولیکی خاک مورد استفاده قرار گرفته و ثابت گردیده که نتایج بدست آمده از دو الگوریتم مشابه می­باشند. زچین و همکاران (2006) نیز شبکه­های توزیع آب را با استفاده از دو الگوریتم مختلف اجتماع مورچه­ها بهینه یابی نمودند. هدف این تحقیق بررسی کارایی و عملکرد دو الگوریتم AS[4] و MMAS[i]اجتماع مورچه­ها بوده است. در نتیجه دو مطالعه موردی شبکه توزیع آب شهر نیویورک و شهر هانوی انتخاب گردیده و جهت مقایسه نتایج، تابع هدف و قیود برای هر دو مدل یکسان درنظر گرفته شده است. نتایج بدست آمده حاکی از آن است که برای هر دو مدل، الگوریتم MMAS عملکرد بهتری نسبت به AS دارد. نورانی و همکاران (1387) به بهینه­سازی سدهای بتنی وزنی پرداختند. در این تحقیق حجم بتن ریزی بدنه سد بتنی وزنی به عنوان تابع هدف و پایداری در برابر واژگونی و لغزش و نیز کنترل تنش­های فشاری و کششی به عنوان قیود بهینه­سازی تعریف شده­اند. سد بتنی کوینا[5] در هندوستان، سد ساریار[6] در کشور ترکیه، سد فرانت[7] در ایالت کالیفرنیای آمریکا و سد زاوین کلات در کشور ایران به عنوان مطالعه موردی بررسی شده­اند. نتایج حاصل از این تحقیق عملکرد مطلوب الگوریتم اجتماع مورچه­ها را نشان می­دهد. مرتضوی نائینی و همکاران (1384) بهینه­سازی برخی پارامترهای سدهای بتنی وزنی روی پی­های سنگی را در دستور کار خود قرار دادند. در این تحقیق، حجم بتن ریزی بدنه سد به عنوان تابع هدف و ارضای شرایط پایداری شامل پایداری در برابر لغزش، واژگونی و تنش­های قائم در بدنه سد به عنوان قیود مساله در نظر گرفته شده است. بدین ترتیب با بهینه شدن شیب بالادست و طول قاعده سد، همزمان هم شرایط پایداری سد محقق گردیده و هم حجم بتن­ریزی به لحاظ اقتصادی بهینه می­گردد. در این راستا نتایج حاصله از الگوریتم اجتماع مورچه­ها با نتایج حاصله از روش­های کلاسیک مقایسه شده و ثابت گردیده است الگوریتم ACO نسبت به روش­های کلاسیک از توانایی بیشتری برخوردار است. جلالی و همکاران (2006) با بهره گیری از الگوریتم اجتماع مورچه­ها به بهینه­یابی بهره­برداری از مخازن سدها پرداختند. در این مقاله مربع اختلاف آب آزاد شده از مخزن سد و آب مورد نیاز پایین دست به عنوان تابع هدف تعریف شده است. همچنین بهره­برداری آب از مخزن سد دز در جنوب کشور به مطالعه موردی انتخاب گردیده است. در این مطالعه، جلالی و همکاران (2006) سه الگوریم مختلف AS، [8] و [9] را مقایسه نموده و نشان دادند الگوریتم  نسبت به دو الگوریتم دیگر دارای عملکرد بهتری است.

    براساس مطالعه پیشینه پژوهش پیداست در زمینه بهینه‌سازی پنستاک با استفاده از روش‌های فراکاوشی از جمله روش الگوریتم اجتماع مورچه­ها تحقیقی انجام نشده است. از اینرو هدف از این تحقیق استفاده از روش الگوریتم اجتماع مورچه­ها برای بهینه‌سازی پنستاک به عنوان یک سازه هیدرولیکی بسیار ارزشمند می باشد.

مواد و روش­ها

     کلیات

مورچه­ها از قابلیت­های خارق العاده­ای برخوردارند که بعنوان مثال می­توان به توانایی آن­ها در ساخت پل، حمل گروهی اجسام و غذایابی اشاره نمود. برای انتقال مکانیزم رفتاری مورچه­های واقعی به حالت مورچه­های مصنوعی و به حالت الگوریتمی، اعمال برخی اصلاحات در رفتار مورچه­های واقعی مورد نیاز است که این اصلاحات اولین بار توسط دوریگو (1992) معرفی گردید. این الگوریتم بر مبنای رفتار طبیعی مورچه­ها در یافتن کوتاهترین مسیر بین لانه و منبع غذایی،           طرح­ریزی شده است. بدین صورت که مورچه­های غذایاب برای یافتن منبع غذایی محدوده وسیعی را جستجو می­نمایند. این مورچه­ها در طول مسیر حرکت خود ماده­ای به نام فرومون[10] بر جای می­گذارند که به بعنوان ابزاری جهت برقراری ارتباط بین مورچه­ها بشمار می­رود. سایر مورچه­ها با حس اثر فرومونی[11] مسیرهای مربوط به غذا که توسط سایر مورچه­ها شناسایی شده است را کشف می­کنند. با افزایش تعداد مورچه­ها در مسیر شناسایی شده، فرومون کوتاه­ترین مسیر بیش از پیش تقویت شده و احتمال انتخاب آن مسیر توسط سایر مورچه­ها افزایش می­یابد (شکل1).

 

شکل 1-  حرکت مورچه­ها در مسیر بین لانه و منبع غذایی

 a) حرکت برای یافتن منبع غذایی b) برخورد مورچه­ها به مانع در مسیر حرکت c) طی هر دو مسیر توسط مورچه ها  d) انتخاب کوتاه­ترین مسیر بین لانه و منبع غذایی

ویژگی گروهی جایگذاری و تعقیب اثر فرومونی و نیز تحریک شدن یک مورچه توسط اثر فرومونی سایر مورچه­ها، الهام بخش ACO بوده است (گیلمور و درس 2005).

 

الگوریتم اجتماع مورچه­ها

 ACO مدلی برای ساخت الگوریتم­های فراکاوشی بمنظور حل مسائل بهینه­سازی ترکیبی می­باشد. اولین الگوریتمی که در این زمینه ابداع گردیده و بعنوان استخوان­بندی سایر الگوریتم­ها مورد استفاده قرار گرفت، الگوریتم AS می­باشد که این الگوریتم نیز خود به سه الگوریتمتعداد مورچه­ها[12] ، تجمع مورچه­ها[13] و چرخه مورچه­ها[14] تقسیم می­گردد. پس از معرفی الگوریتم AS، الگوریتم­های دیگر ACO برای کاربردی کردن و رفع معایب این الگوریتم گسترش یافتند که بعنوان نمونه    می­توان به الگوریتم­های ACS و MMAS اشاره نمود. با توجه به ضعف­های الگوریتم AS مانند پدیده همگرایی نابهنگام (استازل و هوس 1997)، الگوریتم­های ACS و MMAS بیشتر مورد توجه قرار گرفتند که در تحقیق حاضر الگوریتم ACS جهت بهینه­سازی ابعاد لوله­های پنستاک مورد استفاده قرار گرفته است. در ادامه به مراحل اصلی این الگوریتم اشاره گردیده است.

پارامترهایی که در طراحی پنستاک مورد استفاده قرار می­گیرند در دو گروه پارامترهای ثابت و متغیر قرار می­گیرند. پارامترهای ثابت تا پایان بهینه­سازی بدون تغییر باقی می­مانند و پارامترهای متغیر که مقدار آن­ها برای هر مورچه و در هر گام از ACO متفاوت بوده و طی بهینه سازی تغییر می­یابند. با توجه به استانداردهای طراحی، برای هر پارامتر متغیر محدوده بالا و پایینی در نظر گرفته شده و هر متغیر در بازه خود گسسته      می­شود که برای این کار، بایستی گام گسسته­سازی مشخص باشد. سپس تعدادی مورچه وارد فضای گسسته شده می­شوند تا مورچه­ها برای پارامترهای متغیر مقداری تصادفی بر اساس قانون گذر انتخاب کنند. قانون گذر در ACS بمنظور موازنه بیشتر جستجوی        جواب – استخراج جواب بکار گرفته می­شود و در گره i برای انتخاب گره بعدی که j می­باشد از رابطه زیر استفاده می­­گردد: 

]1[

 

در رابطه (1)،  و  ضریبی است که به نوع مساله بستگی دارد که  به منظور موازنه جستجو و استخراج جواب بکار می­رود. اگر ، الگوریتم با درنظر گرفتن بهترین جواب، به استخراج جواب در همسایگی آن پرداخته و از سوی دیگر اگر  باشد  الگوریتم به جستجوی مناطق جدید از فضای جستجو می­پردازد. پس با انتخاب مقادیر کوچکتر برای ، جستجوی جواب به استخراج جواب اولویت داده        می­شود.  توزیع نرمال با میانگین صفر و انحراف از معیار یک می­باشد،  همسایگی مجاز مورچه k هنگامی که مورچه مزبور در گره i واقع شده باشد  این همسایگی شامل تمام گره­هایی است که به صورت مستقیم به گره i وصل شده­اند (شکل 2) و j گرهی      می­باشد که با توجه به تابع گذر زیر انتخاب می­شود (دوریگو و گامبردل 1997):

]2[               

در رابطه (2)  تابع احتمال برای انتخاب گره j می­باشد،  اثر فرومونی است که هر مسیر با ابتدا و انتهای بترتیب i و j دریافت می­کند و  اطلاعات کاوشی مسیر می­باشد. در گام اول برای  و  مقادیری بعنوان پیش فرض در نظر گرفته می­شود که مقدار تابع کاوشی تا پایان ثابت می­ماند اما مقدار فرومون در هر گام و برای هر مسیر تغییر می­کند.

با انتخاب یک مقدار تصادفی برای پارامترهای متغیر که بر اساس قانون گذر انجام می­گیرد، مقدار تابع هدف برای تمامی مورچه­ها محاسبه می­گردد و سپس مجاز یا غیرمجاز بودن پاسخ­های ایجاد شده بررسی می­گردد.    

g

 

j

                                                                                                                                                                

                                                                                                                                                                                            

 

i

 

؟

 


شکل 2- مورچه در نقطه i  برای انتخاب نقطه بعدی j از                        ا ستفاده می کند.

اگر پاسخ­های بدست آمده مجاز باشند(تمامی قیدها ارضا شوند) تابع هدف همان مقدار محاسبه شده است و در غیراین­ صورت تابع هدف، جریمه دریافت می­کند. در گام بعدی برای هر مسیر طی شده توسط مورچه فرومون جدیدی اختصاص می­یابد که اصطلاحا بروز رسانی فرومون نامیده می­شود. بروزرسانی فرومون بسته به نوع الگوریتم مورچه متفاوت است که الگوریتم ACS شامل بروز رسانی کلی و محلی می­باشد. در این الگوریتم تنها مورچه­ای که دارای بهترین جواب است عمل بروز رسانی کلی فرومون را انجام  می­دهد. بهترین مورچه می­تواند بهترین هر تکرار یا بهترین در کل (دوریگو و همکاران 1999) باشد:

]3[                         

 ثابت تبخیر فرومون و  تبخیر فرومونی را نشان می­دهد. تبخیر فرومونی از همگرایی زودرس الگوریتم جلوگیری می­کند.  نیز برای بهترین مورچه به صورت زیر بدست می­آید (دوریگو و  همکاران 1999):

]4[

 

که  کوتاهترین مسیر طی شده توسط بهترین مورچه می­باشد. در کنار قانون بروز رسانی کلی، بروزرسانی محلی نیز بصورت زیر انجام می­شود:

]5[

 

k

که  ثابت تبخیر فرومون و  ضریبی با مقدار کوچک و مثبت می­باشد. مقدار  با استفاده از رابطه زیر قابل محاسبه است:

]6[                                                  

در رابطه (6)،  ضریبی بین صفر و یک بوده و  حداکثر فرومون موجود در مسیر بین گره i و سایر  گره­هایی است که ممکن است توسط مورچه انتخاب گردد. قانون بروز رسانی محلی برای کاهش اثر فرومون برجای مانده در مسیر است تا احتمال عبور مورچه­های بعدی از مسیر مذکور کاهش یافته و از همگرایی زودرس جلوگیری نماید (دوریگو و همکاران 1999).

 

تابع هدف

   در مساله بهینه­سازی پنستاک،‌ کمینه کردن وزن پنستاک به عنوان تابع هدف انتخاب شده است. با تعریف تابع وزن پنستاک به عنوان تابع هدف علاوه بر اینکه وزن خود پنستاک بهینه شده و مصالح مصرفی کاهش می­یابد، حجم خاکبرداری برای احداث تونل پنستاک نیز کاهش پیدا می­کند. بدیهی است کاهش ابعاد تونل پنستاک موجب کمینه شدن حجم بتن­ریزی تونل نیز می­گردد. کمینه شدن حجم خاکبرداری و بتن­ریزی عمدتا در پنستاک­های مدفون مطرح بوده و در پنستاک­های روکار هدف از بهینه­سازی تنها کاهش وزن خود پنستاک      می­باشد. پنستاک­های مورد مطالعه در این تحقیق از نوع مدفون انتخاب شده­اند تا بررسی همزمان کاهش وزن لوله و حجم عملیات خاکی و بتن ریزی امکان پذیر باشد (شکل 3).در مساله بهینه­سازی تابع هدف به صورت زیر تعریف می­شود:

]7[                                                    

که c تابع هدف، وزن پنستاک و  بردار متغیرها می­باشد.

 

شکل 3-  نمایی از پنستاک مدفون در بدنه سد بتنی

      متغیرهای طراحی که می­توان در بهینه­سازی منظور کرد عبارتند از قطر داخلی، قطر بیرونی، شعاع خم، زاویه خم، ضخامت جدار پنستاک، محل قرار­گیری سازه آبگیر نسبت به تراز سطح آزاد آب و ابعاد سازه آبگیر. بررسی بیشتر مساله و انجام تحلیل حساسیت نشان می­دهد که دو پارامتر قطر بیرونی و قطر داخلی بیشترین تاثیر را در کاهش وزن پنستاک خواهند داشت. لذا قطر بیرونی و قطر داخلی پنستاک به عنوان متغیرهای طراحی در نظر گرفته می­شوند. مطابق شکل 3 تابع وزن پنستاک را     می­توان به صورت زیر بیان نمود:

]8[

در رابطه (8)  وزن پنستاک، تعداد پنستاک­های معلوم،  وزن مخصوص مصالحی که پنستاک از آن ساخته شده است،  طول پنستاک مقطع i و مساحت پنستاک مقطع i می­باشد. مساحت  نیز با در نظرگرفتن  به عنوان قطر بیرونی و  به عنوان قطر درونی مقطع i قابل محاسبه است. با توجه به تغییرات تنگ­شدگی مقطع در برخی از قسمت­های مسیر،  قطر متوسط پنستاک در این مقاطع طبق رابطه (9) بدست   می­آید ( شکل 4 ):

 

شکل 4-  کاهش قطر پنستاک در مجاورت توربین­های  نیروگاه

 

]9[                                             

قیود

       در بهینه­سازی پنستاک بایستی لوله هم از لحاظ هیدرولیکی و هم از لحاظ سازه­ای مورد بررسی قرار گیرد. لذا قیود مساله در دوگروه قیدهای هیدرولیکی و قیدهای سازه­ای قرار می­گیرند. ارضا­ی معادله برنولی بین سازه آبگیر و توربین­های نیروگاه به عنوان قید هیدرولیکی و کنترل تنش­های ناشی از فشار داخلی جریان و نیز فشار خارجی ناشی از عوامل مختلف، به عنوان قید­های سازه­ای منظور می­گردند. در پنستاک­های مدفون فشار خارجی ممکن است ناشی از تغییرات حجمی بتن تحت تاثیر دمای اطراف باشد. همچنین فشار آب حفره­ای ناشی از ترک­خوردگی سنگ­ها نیز ممکن است یکی از عوامل ایجاد کننده فشار خارجی بر روی این نوع از پنستاک­ها باشد. گرچه سنگ­های اطراف پنستاک را می­توان با دوغاب تحکیم کرد اما ممکن است برخی ترک­های مویی که پر کردن و تحکیم آن­ها مشکل است باقی بمانند. در نتیجه آبی که با فشار بالا در پنستاک جریان می­یابد اگر به میان سنگ­ها نشت کند موجب ایجاد ترک­های کششی در سنگ­های اطراف پنستاک می­گردد.

 

 

ترک­های کششی ایجاد شده پایداری سنگ­های اطراف پنستاک را به خطر انداخته و موجب اعمال فشار خارجی بر پنستاک می­گردند (نورانی و همکاران 1390). بنابراین از لحاظ قیود اعمالی، پنستاک از دو جنبه هیدرولیکی و سازه­ای مورد تحلیل قرار    می­گیرد:

 

 

]10[

 

که  تنش شعاعی ناشی از فشار داخلی و  فشار خارجی وارد بر پنستاک در مقطع i می­باشد.  مقدار مجاز تنش داخلی بوده و­  بصورت مقدار مجاز تنش برای فشار خارجی تعریف می­شود.  و­   بترتیب فشار جریان در مقطع ورودی و خروجی،  و­  بترتیب سرعت جریان در مقطع ورودی و خروجی،­  و ­  بترتیب ارتفاع مقطع ورودی و نیز محل قرار­گیری توربین نسبت به  تراز پایه  و ، میزان تلفات انرژی جریان از ابتدا تا انتهای مسیر پنستاک می­باشد. عبارت  افت­های اصطکاکی و موضعی را شامل شده و به صورت زیر قابل محاسبه است:

 

]11[  

در رابطه (11) عبارت اول افت موضعی در ورودی پنستاک، عبارت دوم افت موضعی در زانویی­ها، عبارت سوم افت اصطکاکی در طول پنستاک، عبارت چهارم افت موضعی در محل انقباض تدریجی و عبارت پنجم افت موضعی انرژی در خروجی پنستاک می­باشد. همچنین ضریب افت جریان در ورودی جریان به سازه آبگیر، ضریب افت جریان در زانویی i، ضریب افت جریان برای انقباض تدریجی پنستاک،  ضریب افت جریان در محل خروجی جریان،  سرعت جریان خروجی از پنستاک، سطح مقطع در محل اتصال پنستاک به توربین و ، ، ،  به ترتیب مساحت، ضریب اصطکاک، طول و قطر پنستاک در مقطع i می­باشند.

با تعریف تابع هدف و قیود و ترکیب آن­ها تابع برازندگی[15] نتیجه می­شود. در الگوریتم­های فراکاوشی روش­های مختلفی جهت اعمال قیود به تابع هدف وجود دارد که روش رایج در الگوریتم اجتماع مورچه­ها، استفاده از تابع جریمه می­باشد که در مقاله حاضر روش فوق مورد استفاده قرار گرفته است (دوریگو و استاتزل 2003). تابع برازندگی را می­توان به صورت زیر تعریف نمود:

 

]12[     

در رابطه (12)  تابع برازندگی،  تابع هدف،  ضریب جریمه تنش داخلی،  ضریب جریمه فشار خارجی و  تابع جریمه معادله برنولی می­باشد.  ضریب جریمه بوده و یک عدد مثبت بزرگ می­باشد که مقدار آن بین دو تا ده تغییر می­کند.     توان تابع جریمه و عددی بین صفر و یک است که با توجه به مساله و با اجرای برنامه به ازای ­های مختلف، مقدار مناسب آن انتخاب   می­گردد. ،  و  طبق رابطه (13) تعریف می­شوند:

]13[                                      

در رابطه (13)،   قید هیدرولیکی مساله (معادله برنولی)  و  خطای قابل قبول برای افت انرژی در طول مسیر می­باشد.

 

مطالعه موردی

 به منظور ارزیابی کارایی مدل ارائه شده در مساله بهینه سازی، پنستاک سد شهریار به عنوان مطالعه موردی مورد بررسی قرار گرفته است. سد شهریار، سد بتنی دو قوسی می­باشد که در 36 کیلومتری شمال شرقی شهرستان میانه واقع گردیده است. ارتفاع این سد 135 متر و طول و عرض آن به ترتیب 207 و 5 متر می باشد. استاندارد طراحی مورد استفاده در طراحی پنستاک این سد، استاندارد CECT می­باشد. بار آبی طراحی آن 1/67 متر است و افزایش بار آبی با اعمال تاثیر ضربه قوچ 30% بوده که برابر 23/87 متر محاسبه شده است. همچنین جهت محاسبه وزن پنستاک شتاب ثقل زمین مساوی 708/9 و جرم مخصوص فولاد مساوی  منظور شده است (بی نام 1384). شکل (5) انشعاب پنستاک­ها در محل توربین ­های نیروگاه را نشان می­دهد.

 

 شکل 5- انشعاب پنستاک سد شهریار(نورانی و همکاران 1390)

 

نتایج و بحث

       در الگوریتم بهینه­سازی اجتماع مورچه­ها تعداد پارامترهای طراحی بسیار زیاد می­باشد که به عنوان مثال می­توان تعداد مورچه­ها، ضرایب بروزرسانی محلی و کلی، ضرایب وزنی فرومون و همچنین مقادیر اولیه فرومون را نام برد. روش اجتماع مورچه­ها به این پارامترها بسیار حساس بوده و با تغییر آن­ها روند   بهینه سازی نیز تغییر می­یابد. لذا جهت اجرای صحیح الگوریتم ACS، لازم است مقدار مناسب این پارامترها تعیین گردد. با چند مرحله اجرای الگوریتم و مقایسه نتایج، مقدار بهینه این پارامترها مطابق جدول 1 بدست آمده است. ضرایب و در رفتار جستجوگرانه مورچه­ها تاثیر می­گذارد. با در نظرگرفتن مقادیر کوچک برای این ضرایب، مقدار فرومون ذخیره شده در مسیرها به آرامی تبخیر می­شود و تاثیر بهترین مسیر نیز   کمرنگ­تر می­گردد. از سوی دیگر با درنظر گرفتن مقادیر بزرگ برای ضرایب و فرومون ذخیره شده بر روی مسیرها به سرعت تبخیر شده ولی تاثیر بهترین مسیر با اهمیت می­گردد. پارامترهای و مقادیر ثابتی هستند که مقدار فرومون مسیرهای مختلف طی تکرارهای قبلی را کنترل می­کنند. بعبارتی انتخاب یک مقدار صحیح برای و بمنظور دستیابی به بهترین موازنه بین جستجوی جواب و استخراج جواب بسیار مهم می­باشد. تعداد مورچه­های مطلوب هر مساله، تابعی از نوع مساله مورد مطالعه می­باشد و معمولا از طریق اجرای الگوریتم بازای مقادیر مختلف مورچه تعیین     می­گردد (دوریگو و استاتزل 2003) در این تحقیق معیار سنجش تعداد مورچه­ها، میانگین تابع هدف و انحراف استاندارد (در 20 تکرار)  انتخاب شده است. جدول 2 بیانگر نتایج حاصله می­باشد. نتایج جدول 2 نشان     می­دهد که با افزایش مورچه به تعداد معین، مقدار انحراف استاندارد و میانگین تابع هدف کاهش می­یابد یعنی در مقادیر کمتر از 150 مقدار انحراف استاندارد افزایش یافته و پراکندگی نسبی نیز بیشتر می­گردد در نتیجه مقدار میانگین تابع هدف افزایش می­یابد اما بازای مقادیر بزرگ تر از 150، زمان اجرای برنامه زیاد       می­شود بدون اینکه انحراف استاندارد و تابع هدف کاهش قابل توجهی داشته باشند. لذا تعداد 150 مورچه انتخاب و وارد فضای پاسخ می­شوند. با انتخاب پارامترهای مناسب الگوریتم و اجرای آن، مقدار میانگین جواب­ها و بهترین جواب برای تابع هدف محاسبه       می­شود. در شکل 6 نحوه همگرایی میانگین جواب و بهترین جواب بطور شماتیک نشان داده شده است. از لحاظ آماری و احتمالاتی اگر اختلاف بین دو مقدار میانگین جواب و بهترین جواب کم باشد احتمال رسیدن به جواب مناسب بیشتر است ولی جهت تضمین دستیابی به جواب مطلوب لازم است برنامه چندین مرتبه اجرا گردد. برای سد شهریار، با تعداد 100 نسل (محور افقی شکل 6 )، 5 و 10 مرتبه اجرای برنامه مورد بررسی قرار گرفته است. در 5 مرتبه اجرا، مقدار میانگین جواب 91/701450 نیوتن و بهترین جواب 73/669846 نیوتن می­باشد. در این حالت انحراف استاندارد 34/8 نیوتن و پراکندگی نسبی 8/4% است. در 10 مرتبه اجرا میانگین جواب و بهترین جواب به ترتیب 4/664208 نیوتن و 881/650511 نیوتن می­باشد که مقدار انحراف استاندارد 79/2 نیوتن و پراکندگی نسبی 23/0% حاصل می­شود. همانطور که ملاحظه می­شود با افزایش تکرارها پراکندگی نسبی کاهش یافته و اختلاف میانگین جواب و بهترین جواب در 10 تکرار برای سد شهریار به 0702/0% رسیده است. لذا 10 بار اجرای الگوریتم مورد استفاده قرار می­گیرد. در نتیجه با 10 مرتبه اجرای برنامه و 100 نسل برای مورد مطالعاتی حدود 1000 تحلیل انجام می­شود که به نظر می­رسد جهت تضمین درستی جواب­های حاصله کافی باشد. در شکل 7 نمودار همگرایی الگوریتم برای 10 بار اجرای برنامه ارائه شده است.در جدول 3 نتایج بهینه متغیرهای طراحی و مقدار تابع هدف ارائه شده است. با انجام آنالیز حساسیت ثابت گردیده است که تغییر قطر داخلی طی روند بهینه سازی بسیار ناچیز بوده و کمینه شدن آن تاثیر قابل تاثیر قابل توجهی در بهینه­سازی وزن پنستاک نخواهد داشت. لذا طبق داده­های جدول 3 قطر داخلی پنستاک ثابت در نظر گرفته شده و تنها قطر بیرونی بهینه­یابی گردیده است. میزان تغییرات قطر بیرونی نیز بگونه­ای است که ضخامت جدار پنستاک پاسخگوی تنش­های داخلی و تنش­های خارجی وارده می­باشد. در نتیجه با توجه به قطر بهینه بیرونی، سطح مقطع بهینه پنستاک محاسبه گردیده و با ثابت در نظر گرفتن طول پنستاک وزن بهینه آن بدست آمده است که قابل مقایسه با وزن اولیه پنستاک می­باشد. مقدار وزن اولیه پنستاک  نیوتن است که پس از بهینه­سازی مقدار آن به  نیوتن کاهش یافته است. یعنی میزان کاهش وزن 04/18­% می­باشد. نکته قابل توجه طی بهینه­سازی آن است که مقدار وزن بدست آمده از بهینه­سازی نباید با وزن اولیه طراحی شده اختلاف فاحشی داشته باشد. بنابراین با بررسی نتایج می­توان دریافت برای        بهینه­سازی پنستاک با تابع هدف و قیود غیر خطی و پیچیده، بکارگیری روش بهینه­سازی الگوریتم اجتماع مورچه­ها بسیار مفید می­باشد.

 

 


جدول 1-  پارامترهای بهینه الگوریتم ACS

ضریب تبخیر فرومون

ضریب تبخیر فرومون

ضریب

 

ضریب

 

تعداد مورچه

توان تابع پنالتی

گام گسسته سازی

8/0

6/0

1

5/0

150

9/0

02/0

جدول 2-  تغییرات میانگین تابع هدف و انحراف استاندارد بازای تغییر تعداد مورچه

تعداد  مورچه

50

100

150

200

میانگین تابع هدف

91/701450

704/683319

881/650511

812/694051

انحراف استاندارد

28/11

88/6

79/2

14/2

 

                 

         شکل 6-  نحوه همگرایی پنستاک سد شهریار با                    شکل 7 - نمودار همگرایی الگوریتم   ACS برای

                      مقایسه میانگین جواب ها و بهترین جواب                                                  10 بار اجرای برنامه

 

جدول 3 - مقدار بهینه قطر و وزن پنستاک

قطرداخلی (mm)

1200

1300

2000

2200

3400

 

قطر بیرونی (mm)

234/1200

996/1319

074/2026

979/2225

978/3425

 

سطح مقطع لوله ( )

433/400

71/41125

045/82406

269/90261

326/139200

 

طول (mm)

6168

31224

5954

53451

15540

 

وزن اولیه

21696

118746

43524

416834

192492

793292

وزن بهینه شده

21370

98857

37772

371418

166532

650511

 

 

نتیجه­گیری کلی

 

      در این تحقیق از مدل بهینه­سازی مقید برای یافتن ابعاد پنستاک با تابع هدف وزن و قید سازه­ای و هیدرولیکی استفاده گردید. به دلیل پیچیدگی مساله و  غیر خطی بودن تابع هدف و قیود، استفاده از الگوریتم­های مرسوم ریاضی دشوار است از اینرو از روش هوشمند الگوریتم اجتماع مورچه­ها استفاده گردیده است. در تحقیق حاضر همچنین تاثیر تعداد مورچه بر        بهینه­سازی مورد بررسی قرار گرفته و ثابت گردید که بازای مقدار معینی مورچه، جواب بهینه مطلوبی حاصل می­گردد و افزایش تعداد مورچه از این مقدار معین نه تنها موجب بهبود پاسخ ها نمی­گردد بلکه زمان اجرای الگوریتم را افزایش می­دهد. با توجه به قابلیت جستجوی الگوریتم و کارایی بالا، این روش توانسته است حجم مورد مطالعاتی را به میزان قابل قبولی کاهش دهد که این کاهش وزن مساوی 04/18%       می­باشد. نکته مهم در روند بهینه­سازی این است که نتایج حاصله از بهینه­سازی نباید با مقادیر موجود که از استاندارد­های طراحی بدست آمده اختلاف فاحشی داشته باشند.


 

منابع مورد استفاده

بی نام، دفترچه محاسباتی سد شهریار، 1384. سازمان آب منطقه­ای آذربایجان شرقی.

کاردان ن و کماسی م، 1389. بهینه سازی پنستاک با استفاده از الگوریتم ژنتیک. نهمین کنفرانس هیدرولیک ایران،       20-18 آبان ماه 1389. تهران، دانشگاه تربیت مدرس. 

مرتضوی نائینی س­م، دهقانی ا­ا و منتظر غ، 1384. بهینه سازی هوشمند مقاطع سدهای بتنی وزنی روی پی­های سنگی با استفاده از الگوریتم  بهینه سازی جامعه مورچه­ها. دانشکده مهندسی دانشگاه باهنر کرمان.

نورانی و، وفایی ر و محبی ا، 1387. طراحی بهینه سد بتنی وزنی با استفاده از الگوریتم جامعه مورچه­ها- مدل سازی معکوس. اولین همایش ملی سد سازی، زنجان، 25 مهرماه 1387. زنجان: دانشگاه آزاد اسلامی زنجان.

نورانی و، کی نژاد م ع و کاردان ن، 1390. استفاده از الگوریتم ژنتیک برای بهینه سازی پنستاک سد­های بتنی. مجله عمران و محیط زیست دانشکده عمران، دانشگاه تبریز، جلد 40، شماره 3، صفحه­های 95-85.

Abbaspour KC, Schulin R and Van Genuchten MTh, 2001. Estimating unsaturated soil hydraulic parameters using Ant Colony optimization. Adv Water Resource 24: 827-841.

Andaroodi MR, 2006. Standardization of civil engineering works of small high head hydropower plants and development of an optimization tool. Ph.D. Thesis Issue 1661-1179.

Anonymous, 1986. Welded Steel Penstocks. A Water Resource Technical Publication Engineering Monograph No.3 United State, Department of the Interior Bureau of Reclamation. Denver, Colorado.

Dorigo M, 1992. Optimizing, learning and natural algorithms. Ph.D. Thesis, Politecnico di Milano Milan, Italy.

Dorigo M, and Gamberdella LM, 1997. Ant colony system: A cooperative learning approach to the traveling salesman problem. IEEE Transaction on Evolutionary Computation 1(1): 35-66.

Dorigo M, Caro GDi, Gamberdella LM and Luca M, 1999. Ant algorithms for discrete optimization. Artificial Life 5(3): 137-172.

Dorigo M, and Stutzle T, 2003. The ant colony optimization metaheuristic: algorithms, applications, and advances. International Series in Operations Research & Management Science 57: 250-285.

Fresen MH and Votesch Ch, 1983. Economic diameter of steel penstock.Transactions, ACSE 103(3): 54-62.

Gilmour S and  Dras M, 2005. Understanding the pheromone system within ant colony optimization. PP. 786-789. AI’05 Proceeding of the 18th Australian Joint Conference on Advances in Artificial Intelligence. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg.

Jalali MR, Afshar A and Marino MA, 2006. Improved ant colony optimization algorithm for reservoir operation. J Scientia Iranica 13(3): 295-302.

Stutzlt T and Hoos H, 1997. Improvements on the Ant system: Introduction MAX-MIN ant system. PP. 245-249. In Proceeding of International Conference on Artificial Neural Networks and Genetic Algorithms. Springer-Verlag, Wien.

Maier HR, Simpson AR, Zecchin AC, Foong WK, Phang KY, Seah HY and Tan CL, 2003. Ant Colony optimization for the design of water distribution systems.  J Water Res Plng and Mgmt 129(3): 200-209.

Sarkaria D, 1979. Economic Penstock Diameter, A 20 year Resources Technical Publication. Engineering Monograph No.3, U.S. Dept of Interior, Bureau of Reclamation. Denver, Colorado.

Souren B, and Hadjian R, 1980. Optimization and design of underground embedded penstocks. Ph.D. Thesis, Department of Civil Engineering, Canada.

Stutzlt T and Hoos H, 1997. Improvements on the Ant system: Introduction MAX-MIN ant system. PP. 245-249. In Proceeding of International Conference on Artificial Neural Networks and Genetic Algorithms. Springer Verlag, Wien.

 

Zecchin AC, Maier HR, Simpson AR, Leonard M, Roberts AJ and Berrisford MJ, 2006.  Application of two ant colony optimization algorithms to water distribution system optimization.  Math Compute Model  44: 451-468.



1 Pre-dimensioning and Economical Optimization of     Small Hydropower Plants

2 Genetic Algorithm

3 Huspselse Beek

4 Ant System

5 Max-Min Ant System

6 Koyna

7 Sariyar

Friant

1 Ant Colony System Iteration Best

2 Ant Colony System Global Best

3 Pheromone

4 Pheromone Trail

1 Ant-quantity

2 Ant-density

3 Ant-cycle

1 Fitness Function



 

بی نام، دفترچه محاسباتی سد شهریار، 1384. سازمان آب منطقه­ای آذربایجان شرقی.
کاردان ن و کماسی م، 1389. بهینه سازی پنستاک با استفاده از الگوریتم ژنتیک. نهمین کنفرانس هیدرولیک ایران،       20-18 آبان ماه 1389. تهران، دانشگاه تربیت مدرس. 
مرتضوی نائینی س­م، دهقانی ا­ا و منتظر غ، 1384. بهینه سازی هوشمند مقاطع سدهای بتنی وزنی روی پی­های سنگی با استفاده از الگوریتم  بهینه سازی جامعه مورچه­ها. دانشکده مهندسی دانشگاه باهنر کرمان.
نورانی و، وفایی ر و محبی ا، 1387. طراحی بهینه سد بتنی وزنی با استفاده از الگوریتم جامعه مورچه­ها- مدل سازی معکوس. اولین همایش ملی سد سازی، زنجان، 25 مهرماه 1387. زنجان: دانشگاه آزاد اسلامی زنجان.
نورانی و، کی نژاد م ع و کاردان ن، 1390. استفاده از الگوریتم ژنتیک برای بهینه سازی پنستاک سد­های بتنی. مجله عمران و محیط زیست دانشکده عمران، دانشگاه تبریز، جلد 40، شماره 3، صفحه­های 95-85.
Abbaspour KC, Schulin R and Van Genuchten MTh, 2001. Estimating unsaturated soil hydraulic parameters using Ant Colony optimization. Adv Water Resource 24: 827-841.
Andaroodi MR, 2006. Standardization of civil engineering works of small high head hydropower plants and development of an optimization tool. Ph.D. Thesis Issue 1661-1179.
Anonymous, 1986. Welded Steel Penstocks. A Water Resource Technical Publication Engineering Monograph No.3 United State, Department of the Interior Bureau of Reclamation. Denver, Colorado.
Dorigo M, 1992. Optimizing, learning and natural algorithms. Ph.D. Thesis, Politecnico di Milano Milan, Italy.
Dorigo M, and Gamberdella LM, 1997. Ant colony system: A cooperative learning approach to the traveling salesman problem. IEEE Transaction on Evolutionary Computation 1(1): 35-66.
Dorigo M, Caro GDi, Gamberdella LM and Luca M, 1999. Ant algorithms for discrete optimization. Artificial Life 5(3): 137-172.
Dorigo M, and Stutzle T, 2003. The ant colony optimization metaheuristic: algorithms, applications, and advances. International Series in Operations Research & Management Science 57: 250-285.
Fresen MH and Votesch Ch, 1983. Economic diameter of steel penstock.Transactions, ACSE 103(3): 54-62.
Gilmour S and  Dras M, 2005. Understanding the pheromone system within ant colony optimization. PP. 786-789. AI’05 Proceeding of the 18th Australian Joint Conference on Advances in Artificial Intelligence. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg.
Jalali MR, Afshar A and Marino MA, 2006. Improved ant colony optimization algorithm for reservoir operation. J Scientia Iranica 13(3): 295-302.
Stutzlt T and Hoos H, 1997. Improvements on the Ant system: Introduction MAX-MIN ant system. PP. 245-249. In Proceeding of International Conference on Artificial Neural Networks and Genetic Algorithms. Springer-Verlag, Wien.
Maier HR, Simpson AR, Zecchin AC, Foong WK, Phang KY, Seah HY and Tan CL, 2003. Ant Colony optimization for the design of water distribution systems.  J Water Res Plng and Mgmt 129(3): 200-209.
Sarkaria D, 1979. Economic Penstock Diameter, A 20 year Resources Technical Publication. Engineering Monograph No.3, U.S. Dept of Interior, Bureau of Reclamation. Denver, Colorado.
Souren B, and Hadjian R, 1980. Optimization and design of underground embedded penstocks. Ph.D. Thesis, Department of Civil Engineering, Canada.
Stutzlt T and Hoos H, 1997. Improvements on the Ant system: Introduction MAX-MIN ant system. PP. 245-249. In Proceeding of International Conference on Artificial Neural Networks and Genetic Algorithms. Springer Verlag, Wien.
 
Zecchin AC, Maier HR, Simpson AR, Leonard M, Roberts AJ and Berrisford MJ, 2006.  Application of two ant colony optimization algorithms to water distribution system optimization.  Math Compute Model  44: 451-468.